In questa guida spieghiamo cosa sono la proporzionalità diretta e indiretta.
Vi è un’unica legge, la proporzionalità, che può regolare la variazione di due grandezze (variabili) dipendenti. Ciò vuol dire che se noi, per esempio, triplichiamo o raddoppiamo una data grandezza, una seconda grandezza viene triplicata o raddoppiata; le due grandezze considerate sono allora direttamente proporzionali.
Se invece la seconda grandezza viene dimezzata allorché noi raddoppiamo la prima, diremo che tali due grandezze sono inversamente proporzionali. Quindi se i kg di pane costa 200 lire, è evidente che 2 kg costeranno 2 • 200 = 400, 3 kg costeranno 3 • 200 = = 600 e così via; possiamo dire che il costo x di 1, 2, 3, 4, 5, 6, … kg è dato dalla formula: x = 200 • (1, 2, 3, 4, 5, 6 …).
Indicando con y il numero dei kg, avremo x = 200y. Non è sufficiente che una grandezza aumenti con l’aumentare di un’altra grandezza, per dire che queste due grandezze sono direttamente proporzionali. Come disse A. N. Whitehead, a …la maggior parte delle persone viene a contatto con la matematica attraverso l’aritmetica… » e « …l’aritmetica si applica a ogni cosa: ai sapori e ai suoni, alle mele e agli angeli, alle idee della mente e alle ossa del corpo… ».
Vediamo quindi alcuni esempi alquanto diversi tra loro. Aristotele, occupandosi del problema della caduta di un grave, osservava nella Fisica come un peso percorresse in un determinato tempo un certo spazio; un peso maggiore avrebbe percorso, secondo lo stesso, il medesimo spazio in un tempo alquanto più breve; in conclusione tanto maggiore è il peso del grave tanto più grande è la velocità con la quale esso percorre la distanza che lo separa dal suolo. Per Aristotele dunque peso e velocità erano grandezze direttamente proporzionali, e bisognerà giungere sino a Galileo perché tali osservazioni vengano sistematicamente confutate.
La statura, per esempio, varia con l’aumentare dell’età, ma non si può affatto dire che le grandezze statura e età siano direttamente proporzionali. Supponiamo infatti che a 10 anni un fanciullo sia alto m 1,30; se le grandezze in questione fossero proporzionali, il fanciullo a 20 anni dovrebbe essere alto 2 • 1,30 = 2,60 m.
Entriamo ora in un negozio e comperiamo 1000 lire di merce con lo sconto del 5%; ciò vuol dire che comperando per 1000 lire abbiamo avuto una riduzione di 50 lire; se compreremo per 2000 lire, avremo una riduzione di 100 lire, e così via. In conclusione la riduzione sarà data da: 1/20 del prezzo. Nel caso del denaro speso e dello sconto concesso, si tratta quindi di due grandezze direttamente proporzionali che possiamo esprimere per mezzo di una proporzione di numeri; volendo dare una definizione diremo che, allorché il rapporto tra valori corrispondenti di due grandezze è costante, le due grandezze sono direttamente proporzionali; se tale rapporto è inverso, le grandezze saranno inversamente proporzionali, come ad esempio nel caso di 5 operai che eseguono un determinato lavoro in 16 giorni; raddoppiando il numero degli operai lo stesso lavoro sarà eseguito in 8 giorni, quindi in metà tempo.
Abbiamo visto precedentemente come una frazione non esprima che un rapporto; inversamente quindi anche un rapporto è una frazione. Una proporzione è invece l’eguaglianza di due rapporti;
come nel caso dei 7/8 di una torta pari ai 14/16 di. essa; infatti 7 : 8 = 8 : = 14 : 16 (7 sta a 8 come 14 sta a 16).
In ogni proporzione si ha che il prodotto degli estremi è uguale a quello dei medi; infatti 7 • 16 = 14 • 8; da cui (7 • 16):(8 • 16) = (14 • 8) : (16 • 8).