In questa guida spieghiamo come si fa la prova del nove.
Indice
Prova del Nove per l’Addizione
Come sappiamo, eseguita un’addizione, possiamo verificarla in base alla proprietà commutativa (la somma non cambia se si cambia l’ordine degli addendi); cioè basta ripetere l’addizione dopo aver scambiato l’ordine degli addendi.
Esempio: 1250 406 = 1656
prova: 406 + 1250 = 1656 .
Vi è tuttavia un altro modo di verificare l’esattezza di un’addizione che si basa sulla divisione per 9 degli addendi e della somma; infatti la somma dei resti della divisione per 9 degli addendi, divisa per 9, dà un resto uguale al resto della divisione per 9 della somma da verificare.
Esempio: siano da sommare i numeri 4510, 1230 e 725; la loro somma è 6465; dividiamo ora 4510 per 9: il resto di tale divisione è 1; diviso 1230 per 9 otterremo come resto 6, mentre 725 diviso 9 darà come resto 5; la somma 1 + 6 -4- 5 = 12; 12 9 dà come resto 3; ma 6465 9, dà resto 3: la somma è pertanto esatta.
Questa prova non è altro che la prima delle prove del 9.
Prova del Nove per la Sottrazione
Per la sottrazione si divideranno per 9 il sottraendo e la differenza; i resti di tali divisioni verranno sommati; la somma ottenuta, divisa per 9, deve dare un resto uguale a quello della divisione per 9 del minuendo.
Esempio: 4510 — 1230 = 3280; 3280 : 9, resto 4; 123
La prova del 9 ha pertanto dimostrato l’esattezza della differenza 3280.
Prova del Nove per la Moltiplicazione
Di più facile applicazione, e universalmente usata, è la prova del 9 della moltiplicazione, per eseguire la quale si moltiplicano i resti della divisione per 9 dei fattori; il prodotto ottenuto, diviso per 9, dà — se la moltiplicazione è esatta — un resto uguale a quello ottenuto dalla divisione per 9 del prodotto dei fattori.
Esempio: 45 • 25 = 1125; 45 : 9 = resto 0; 25 : 9 = resto 7; O • 7 = 0; 0 : 9 = 0; 1125 : 9 dà appunto come resto 0. In pratica si esegue sommando le cifre del moltiplicando (procedendo progressivamente da sinistra a destra) ed escludendo ogni risultato pari a 9; lo stesso si farà per il moltiplicatore.
Se il risultato ottenuto è espresso da un numero di più cifre, queste verranno sommate tra loro fino a ottenere una sola cifra; si procederà allo stesso modo per il moltiplicatore. I due numeri così ottenuti verranno moltiplicati tra loro. La somma delle cifre del prodotto ottenuto, è pari alla somma delle cifre del prodotto da verificare; il discorso è ingarbugliato, ma un esempio servirà a chiarirlo.
Abbiamo scritto che 45 • 25 = 1125; la somma delle cifre del moltiplicando (45) è 9; la somma delle cifre del moltiplicatore (25) è 7; il prodotto 7 • 9 è 63: la somma delle sue cifre è 9; ora la somma delle cifre del prodotto da verificare (1125) è appunto 9, come volevasi dimostrare.
Prova del Nove per la Divisione
Per quanto riguarda la divisione, invece, si divideranno per 9 il quoziente e il divisore; i resti di queste due divisioni, moltiplicati tra loro, daranno un prodotto al quale si sommerà il resto della divisione per 9 del resto della divisione da verificare. Ovvero dividiamo per 9 il resto della divisione di cui dobbiamo far la prova; il resto di questa nuova divisione viene sommato al prodotto di cui sopra. Tale somma, divisa a sua volta per 9, avrà un resto uguale a quello del dividendo diviso per 9. Il procedimento pratico è simile a quello della prova della moltiplicazione.
In conclusione resta da osservare come tali prove non siano rigorose, considerata la possibilità che numeri diversi diano resti uguali.
Gli errori di 9, o di multipli di 9, non vengono inoltre rilevati nella prova che noi eseguiamo con tale sistema. D’altra parte questa non rigorosità è comune anche alla prova dell’il la quale si esegue nello stesso modo di quella del 9; la prova dell’il dà però maggior sicurezza nella verifica.
Diamone un esempio: prendiamo ancora in esame l’addizione 4510 + 1230 + 725 = 6465. Il numero 4510 diviso per 11 darà come resto 0, mentre il numero 1230 darà come resto 9 e il numero 725 darà come resto 10. La somma di tali resti è 19. Dividendo 19 per 11 otteniamo come resto 8; non ci resta ora che da dividere 6465 per 11, divisione che dà come resto 8. La somma è pertanto esatta.